Cari Lewat Sini....

Memuat...

Minggu, 22 Januari 2012

FUNGSI KUADRAT

Persamaan kuadrat adalah suatu persamaan polinomial berorde dua. Bentuk umum dari persamaan kuadrat adalah
y = ax^2 + bx + c \,\!, dengan a \ne 0 \,\!
Huruf-huruf a, b dan c disebut sebagai koefisien: koefisien kuadrat a adalah koefisien dari x2, koefisien linier b adalah koefisien dari x, dan c adalah koefisien konstan atau disebut juga suku bebas.

Arti nilai a, b, dan c

Variasi nilai a
Variasi nilai b
Variasi nilai c
Nilai-nilai a, b dan c menentukan bagaimana bentuk parabola dari fungsi persamaan kuadrat dalam ruang xy.
  • a menentukan seberapa cekung/cembung parabola yang dibentuk oleh fungsi kuadrat. Nilai a > 0 akan menyebabkan parabola terbuka ke atas, sedangkan nilai a < 0 akan menyebabkan parabola terbuka ke bawah.
  • b menentukan kira-kira posisi x puncak parabola, atau sumbu simetri cermin dari kurva yang dibentuk. Posisi tepatnya adalah -b/2a.
  • c menentukan titik potong fungsi parabola yang dibentuk dengan sumbu y atau saat x = 0.
Ilustrasi grafik-grafik persamaan kuadrat dengan berbagai variasi nilai a. b dan c dapat dilihat pada gambar di di atas.

Rumus Kuadratis (Rumus abc)

y = 0.75 (x + 3.333) (x - 6-000)
Rumus kuadratis dikenal pula dengan nama 'rumus abc karena digunakan untuk menghitung akar-akar persamaan kuadrat yang tergantung dari nilai-nilai a, b dan c suatu persamaan kuadrat. Rumus yang dimaksud memiliki bentuk
x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
Rumus ini digunakan untuk mencari akar-akar persamaan kuadrat apabila dinyatakan bahwa
y = 0 \,\!.
Dari rumus tersebut akan diperoleh akar-akar persamaan, sehingga persamaan semula dalam bentuk
y = ax^2 + bx + c \,\!
dapat dituliskan menjadi
y = a (x - x_1) (x - x_2) \,\!.
Dari persamaan terakhir ini dapat pula dituliskan dua hubungan yang telah umum dikenal, yaitu
x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \,\!
dan
x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} \,\!.
Ilustrasi dapat dilihat pada gambar.

Pembuktian rumus kuadrat

Dari bentuk umum persamaan kuadrat,
ax^2 + bx + c = 0 \,\!
bagi kedua ruas untuk mendapatkan a = 1
x^2 + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a}=0,\,\!
Pindahkan \frac{c}{a} ke ruas kanan
x^2 + \frac{b}{a}x = -\frac{c}{a} \,\!
sehingga teknik melengkapkan kuadrat bisa digunakan di ruas kiri.
\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2}{4a^2} = -\frac{c}{a} \,\!
Pindahkan -\frac{b^2}{4ac} ke ruas kanan
\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{b^2}{4a^2} -\frac{c}{a} \,\!
lalu samakan penyebut di ruas kanan.
\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2} \,\!
Kedua ruas diakar (dipangkatkan setengah), sehingga tanda kuadrat di ruas kiri hilang, dan muncul tanda plus-minus di ruas kanan.
x+\frac{b}{2a}=\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac\ }}{2a}
Pindahkan -\frac{b}{2a} ke ruas kanan
x=-\frac{b}{2a}\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac\ }}{2a}
sehingga didapat rumus kuadrat
x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac\ }}{2a}

Diskriminan/determinan

Akar-akar dan nilai D.
Dalam rumus kuadrat di atas, terdapat istilah yang berada dalam tanda akar:
 b^2 - 4ac,\,\!
yang disebut sebagai diskriminan atau juga sering disebut determinan suatu persamaan kuadrat. Kadang dituliskan sebagai D.
Suatu persamaan kuadrat dengan koefisien-koefisien riil dapat memiliki hanya sebuah akar atau dua buah akar yang berbeda, di mana akar-akar yang dimaksud dapat berbentuk bilangan riil atau kompleks. Dalam hal ini dikriminan menentukan jumlah dan sifat dari akar-akar persamaan kuadrat. Terdapat tiga kasus yang mungkin:
  • Jika diskriminan bernilai nol, terdapat eksak satu akar, dan akar yang dimaksud merupakan bilangan riil. Hal ini kadang disebut sebagai akar ganda, di mana nilainya adalah:
x = -\frac{b}{2a}.\,\!
  • Jika diskriminan bernilai negatif, tidak terdapat akar riil. Sebagai gantinya, terdapat dua buah akar kompleks (tidak-real), yang satu sama lain merupakan konjugat kompleks:
x_+ = \frac{-b}{2a} + i \left ( \frac{\sqrt {4ac - b^2}}{2a} \right ) dan x_- = \frac{-b}{2a} - i \left ( \frac{\sqrt {4ac - b^2}}{2a} \right )
Jadi akar-akar akan berbeda, jika dan hanya jika diskriminan bernilai tidak sama dengan nol, dan akar-akar akan bersifat riil, jika dan hanya jika diskriminan bernilai tidak negatif.
Download Program Aplikasi Fungsi Kuadrat Menggunakan Delphi.

Tidak ada komentar:

Poskan Komentar