FAKTORIAL, PERMUTASI, DAN KOMBINASI

FAKTORIAL

Dalam matematika, faktorial dari bilangan asli n adalah hasil perkalian antara bilangan bulat positif yang kurang dari atau sama dengan n. Faktorial ditulis sebagai n! dan disebut n faktorial.

Sebagai contoh, 7! adalah bernilai 7×6×5×4×3×2×1 = 5040. Berikut ini adalah daftar sejumlah faktorial :

 0!  =         1
 1!  =         1
 2!  =         2
 3!  =         6
 4!  =        24
 5!  =       120
 6!  =       720
 7!  =      5040
 8!  =     40320
 9!  =    362880
 10! =   3628800
 11! =  39916800
 12! = 479001600

Definisi

Fungsi faktorial didefinisikan sebagai:

$n!=\prod_{k=1}^n k\qquad\mbox{untuk semua }n\ge1.$

Selain definisi tersebut, terdapat juga definisi secara rekursif, yang didefinisikan untuk $n \ge 0$

$n! = \begin{cases} n \cdot (n-1)! , & \mbox{untuk } n \ge 1 \\ 1, & \mbox{untuk } n = 0. \end{cases}$

Untuk n yang sangat besar, akan terlalu melelahkan untuk menghitung n! menggunakan kedua definisi tersebut. Jika presisi tidak terlalu penting, pendekatan dari n! bisa dihitung menggunakan rumus Stirling:

$n! \approx \sqrt{2\pi n}\, \frac{n^n}{e^n}.$

Juga terdapat definisi analitik untuk faktorial, yaitu menggunakan fungsi gamma:

$\Gamma(z) = \int_0^\infty t^{z-1} e^{-t}\,\mathrm{d}t$

n! = Γ(n + 1)

PERMUTASI

Permutasi adalah penyusunan kembali suatu kumpulan objek dalam urutan yang berbeda dari urutan yang semula. Sebagai contoh, kata-kata dalam kalimat sebelumnya dapat disusun kembali sebagai "adalah Permutasi suatu urutan yang berbeda urutan yang kumpulan semula objek penyusunan kembali dalam dari." Proses mengembalikan objek-objek tersebut pada urutan yang baku (sesuai ketentuan) disebut sorting.

Pengertian

Jika terdapat suatu untai abjad abcd, maka untai itu dapat dituliskan kembali dengan urutan yang berbeda: acbd, dacb, dan seterusnya. Selengkapnya ada 24 cara menuliskan keempat huruf tersebut dalam urutan yang berbeda satu sama lain.

 abcd  abdc  acbd  acdb  adbc  adcb
 bacd  badc  bcad  bcda  bdac  bdca
 cabd  cadb  cbad  cbda  cdab  cdba
 dabc  dacb  dbac  dbca  dcab  dcba

Setiap untai baru yang tertulis mengandung unsur-unsur yang sama dengan untai semula abcd, hanya saja ditulis dengan urutan yang berbeda. Maka setiap untai baru yang memiliki urutan berbeda dari untai semula ini disebut dengan permutasi dari abcd.

Menghitung Banyaknya Permutasi yang Mungkin

Untuk membuat permutasi dari abcd, dapat diandaikan bahwa terdapat empat kartu bertuliskan masing-masing huruf, yang hendak kita susun kembali. Juga terdapat 4 kotak kosong yang hendak kita isi dengan masing-masing kartu:

 Kartu            Kotak kosong
 -----------      ---------------
 a  b  c  d       [ ] [ ] [ ] [ ]

Maka kita dapat mengisi setiap kotak dengan kartu. Tentunya setiap kartu yang telah dipakai tidak dapat dipakai di dua tempat sekaligus. Prosesnya digambarkan sebagai berikut:

Di kotak pertama, kita memiliki 4 pilihan kartu untuk dimasukkan.

 Kartu            Kotak
 -----------      ---------------
 a  b  c  d       [ ] [ ] [ ] [ ]
                   ^ 4 pilihan: a, b, c, d

Sekarang, kondisi kartunya tinggal 3, maka kita tinggal memiliki 3 pilihan kartu untuk dimasukkan di kotak kedua.

 Kartu            Kotak
 -----------      ---------------
 a  *  c  d       [b] [ ] [ ] [ ]
                       ^ 3 pilihan: a, c, d

Karena dua kartu telah dipakai, maka untuk kotak ketiga, kita tinggal memiliki dua pilihan.

 Kartu            Kotak
 -----------      ---------------
 a  *  c  *       [b] [d] [ ] [ ]
                           ^ 2 pilihan: a, c

Kotak terakhir, kita hanya memiliki sebuah pilihan.

 Kartu            Kotak
 -----------      ---------------
 a  *  *  *       [b] [d] [c] [ ]
                               ^ 1 pilihan: a

Kondisi terakhir semua kotak sudah terisi.

 Kartu            Kotak
 -----------      ---------------
 *  *  *  *       [b] [d] [c] [a]

Di setiap langkah, kita memiliki sejumlah pilihan yang semakin berkurang. Maka banyaknya semua kemungkinan permutasi adalah 4×3×2×1 = 24 buah. Jika banyaknya kartu 5, dengan cara yang sama dapat diperoleh ada 5×4×3×2×1 = 120 kemungkinan. Maka jika digeneralisasikan, banyaknya permutasi dari n unsur adalah sebanyak

n!

Bilangan Inversi

Setiap permutasi dapat kita kaitkan dengan barisan bilangan yang disebut sebagai barisan bilangan inversi. Setiap unsur dalam permutasi dikaitkan dengan sebuah bilangan yang menunjukkan banyaknya unsur setelah unsur tersebut, yang posisinya salah. Sebagai contoh, salah satu permutasi dari untai abcdefg adalah dacfgeb. Maka untuk setiap unsur dacfgeb dapat dibuat bilangan inversinya:

Posisi	Unsur	Bilangan
0	d	3	Ada 3 huruf setelah posisi 0, yang seharusnya berada sebelum d, yaitu a, b, dan c.
1	a	0	Tidak ada huruf setelah posisi 1, yang seharusnya berada sebelum a.
2	c	1	Ada 1 huruf setelah posisi 2, yang seharusnya berada sebelum c, yaitu b.
3	f	2	Ada 2 huruf setelah posisi 3, yang seharusnya berada sebelum f, yaitu e, dan b.
4	g	2	Ada 2 huruf setelah posisi 4, yang seharusnya berada sebelum g, yaitu e, dan b.
5	e	1	Ada 1 huruf setelah posisi 5, yang seharusnya berada sebelum g, yaitu b.
6	b	0	Tidak ada huruf setelah b.

Maka barisan bilangan inversi dari dacfgeb adalah 3, 0, 1, 2, 2, 1, 0.

Faktoradik

Barisan bilangan inversi dapat dimengerti sebagai sebuah sistem bilangan, yang setiap digitnya memiliki sifat:

$a_i \in N$

dan

$0 \leq a_i \leq i$

Sistem bilangan ini disebut sebagai faktoradik. Masing-masing faktoradik dapat diubah maupun dibentuk dari bilangan desimal. Ini berguna untuk dapat menghasilkan permutasi ke-k dari sebuah untai.

Membangkitkan Permutasi

Permasalahan umum yang terdapat seputar membangkitkan permutasi adalah:

Diberikan sebuah untai S, tentukan:

Semua permutasi dari S
Semua permutasi n-elemen dari S
Permutasi berikutnya setelah S
Permutasi ke-k dari s sesuai urutan leksikografik (atau aturan lainnya)

Jenis-jenis Permutasi Lainnya

Permutasi-k dari n benda

Terkadang kita hanya ingin menyusun ulang sejumlah elemen saja, tidak semuanya. Permutasi ini disebut permutasi-k dari n benda. Pada contoh untai abcd, maka permutasi-2 dari abcd (yang semuanya ada 4 unsur) adalah sebanyak 12:

 ab  ac  ad
 ba  bc  bd
 ca  cb  cd
 da  db  dc

Sedangkan permutasi-3 dari untai yang sama adalah sebanyak 24:

 abc  abd  acb  acd  adb  adc
 bac  bca  bad  bda  bcd  bdc
 cab  cba  cad  cda  cbd  cdb
 dab  dba  dac  dca  dbc  dcb

Banyaknya kemungkinan permutasi seperti ini adalah

$P^n_k = \frac{n!}{(n-k)!}$

Permutasi dengan elemen yang identik

Terkadang tidak semua unsur dalam permutasi dapat dibedakan. Unsur-unsur ini adalah unsur-unsur yang identik atau sama secara kualitas. Suatu untai aabc terdiri dari 4 macam unsur, yaitu a, b, dan c tetapi unsur a muncul sebanyak dua kali. Kedua a tersebut identik. Permutasi dari aabc adalah berjumlah 12:

 aabc  aacb  abac  abca
 acab  acba  baac  baca
 bcaa  caab  caba  cbaa

Ini bisa dimengerti sebagai permutasi biasa dengan kedua unsur a dibedakan, yaitu a₀ dan a₁:

   a₀a₁bc  a₁a₀bc  =  aabc
   a₀a₁cb  a₁a₀cb  =  aacb
   a₀ba₁c  a₁ba₀c  =  abac
   a₀bca₁  a₁bca₀  =  abca
   a₀ca₁b  a₁ca₀b  =  acab
   a₀cba₁  a₁cba₀  =  acba
   ba₀a₁c  ba₁a₀c  =  baac
   ba₀ca₁  ba₁ca₀  =  baca
   bca₀a₁  bca₁a₀  =  bcaa
   ca₀a₁b  ca₁a₀b  =  caab
   ca₀ba₁  ca₁ba₀  =  caba
   cba₀a₁  cba₁a₀  =  cbaa

Total permutasi dari untai aabc adalah sebanyak 4! = 24. Tetapi total permutasi ini juga mencakup posisi a₀ dan a₁ yang bertukar-tukar, yang jumlahnya adalah 2! (karena a terdiri dari 2 unsur: a₀ dan a₁). Dengan demikian jika dianggap a₀ = a₁ maka banyak permutasinya menjadi 4! dibagi dengan 2!. Cara menghitung ini dapat digeneralisasikan:

Untuk untai S sepanjang n yang mengandung satu macam unsur identik sebanyak k:

$\frac{n!}{k!}$

Lebih umum lagi, jika panjang untai adalah n, mengandung m macam unsur yang masing-masing adalah sebanyak k₁, k₂, ..., k_m, maka:

$\frac{n!}{k_1! k_2! ... k_m!}$

atau

$\frac{n!}{\prod_{i=1}^m{k_i!}}$

Sebagai contoh, untai aaaaabbcccdddddd terdiri dari 5 a, 2 b, 3 c, dan 6 d, maka banyaknya permutasi yang dapat dibentuk:

$\frac{16!}{5! 2! 3! 6!} = 20180160$

Dalam permutasi biasa, misalnya abcd, setiap unsur hanya muncul satu kali, sehingga

$\frac{4!}{1! 1! 1! 1!} = 4!$

Unsur yang identik tersebut tidak perlu benar-benar identik, tetapi bisa merupakan unsur yang berbeda, tetapi ada kualitas tertentu yang kita anggap sama dari kedua unsur tersebut. Sebagai contoh, huruf A dan huruf a bisa dianggap identik untuk keperluan tertentu.

Permutasi siklis

Permutasi siklis menganggap elemen disusun secara melingkar.

Pada susunan di atas, kita dapat membaca untai tersebut sebagai salah satu dari untai-untai berikut:

 abcdefgh
 bcdefgha
 cdefghab
 defghabc
 efghabcd
 fghabcde
 ghabcdef
 habcdefg

Cara membaca untai abcdefgh dalam susunan melingkar tersebut bermacam-macam, maka setiap macam cara kita anggap identik satu sama lain. Permutasi siklis dapat dihitung dengan menganggap bahwa satu elemen harus ditulis sebagai awal untai.

 a bcdefgh
   --------
   ^ bagian yang dipermutasikan

Dengan menganggap panjang untai (atau banyaknya elemen) adalah n, dan karena elemen awal tidak boleh diubah-ubah posisinya, maka banyaknya elemen yang dapat berubah-ubah posisinya adalah n-1. Dengan demikian kita cukup mempermutasikan elemen yang dapat berubah-ubah posisi saja, yaitu sebanyak

(n - 1)!

KOMBINASI

Istilah kombinasi dalam matematika kombinatorik berarti himpunan objek yang tidak mementingkan urutan. Kombinasi berbeda dengan permutasi yang mementingkan urutan objek.

Definisi

Kombinasi C dari sebuah himpunan S adalah himpunan bagian dari S.

$C \subseteq S$

Sebagai contoh, misalkan terdapat suatu kumpulan buah: apel, jeruk, mangga, pisang. Maka {apel, jeruk} dan {jeruk, mangga, pisang} adalah merupakan kombinasi dari kumpulan tersebut. Seluruh himpunan bagian yang mungkin dibentuk dari kumpulan buah tersebut adalah:

tidak ada buah apa pun
satu buah:
- apel
- jeruk
- mangga
- pisang
dua buah:
- apel, jeruk
- apel, mangga
- apel, pisang
- jeruk, mangga
- jeruk, pisang
- mangga, pisang
tiga buah:
- apel, jeruk, mangga
- apel, jeruk, pisang
- apel, mangga, pisang
- jeruk, mangga, pisang
empat buah:
- apel, jeruk, mangga, pisang

Kombinasi r dari sebuah himpunan S, berarti dari himpunan S diambil elemen sebanyak r untuk dijadikan sebuah himpunan baru. Dalam hal kumpulan buah di atas, himpunan {apel, jeruk, pisang} adalah sebuah kombinasi 3 dari S, sedangkan {jeruk, pisang} adalah sebuah kombinasi 2 dari S.

Banyaknya kombinasi r dari sebuah himpunan berisi n elemen dapat dihitung tanpa harus memperhatikan isi dari himpunan tersebut. Besarnya dinyatakan dengan fungsi:

$C_r^n = \frac{n!}{r!(n-r)!}$

Fungsi $C_r^n$ dalam banyak literatur dinyatakan juga dengan notasi ${n \choose r}$ .

Sebagai contoh, tanpa harus mengetahui elemen himpunan {apel, jeruk, mangga, pisang}, banyaknya kombinasi 3 dari himpunan tersebut dapat dihitung:

$C_3^4 = \frac{4!}{3!(4-3)!} = 4$

Sifat rekursif dari Kombinasi

Kombinasi dapat dibentuk dari dua kombinasi sebelumnya. Ini mengakibatkan banyaknya kombinasi juga bersifat rekursif:

$C^n_r = C^{n-1}_{r-1} + C^{n-1}_{r}$

Hubungan dengan Permutasi

Dari himpunan {apel, jeruk, mangga, pisang} dapat diambil permutasi 3 unsur, yang dapat didaftar sebagai berikut:

apel jeruk mangga	apel mangga jeruk	jeruk apel mangga	jeruk mangga apel	mangga apel jeruk	mangga jeruk apel
apel jeruk pisang	apel pisang jeruk	jeruk apel pisang	jeruk pisang apel	pisang apel jeruk	pisang jeruk apel
apel mangga pisang	apel pisang mangga	mangga apel pisang	mangga pisang apel	pisang apel mangga	pisang mangga apel
jeruk mangga pisang	jeruk pisang mangga	mangga jeruk pisang	mangga pisang jeruk	pisang jeruk mangga	pisang mangga jeruk

Perhatikan bahwa dalam susunan ini setiap kolom merupakan permutasi dari kolom pertama. Karena dalam kombinasi urutan tidak dipentingkan, maka cukup salah satu kolom saja yang diambil. Jika kita mengambil kolom pertama saja, maka kita mendapatkan kombinasi 3 dari keempat buah tersebut adalah:

apel, jeruk, mangga
apel, jeruk, pisang
apel, mangga, pisang
jeruk, mangga, pisang

Penyusunan tabel seperti di atas akan menghasilkan $P ^4_3$ atau 24 permutasi, dengan

3!

kolom, karena untuk setiap baris terdapat

3!

permutasi dari kolom pertama. Dengan demikian, jumlah baris dari tabel akan sebesar:

$\frac{P ^4_3}{3!}$

Aturan seperti ini dapat digeneralisasikan sehingga untuk setiap n unsur yang dikombinasikan r unsur, berlaku:

$C^n_r = \frac{P^n_r}{r!}$

Yang dapat dengan mudah dibuktikan:

$C^n_r = \frac{P^n_r}{r!}$

$= \frac{\frac{n!}{(n-r)!}}{r!}$

$= \frac{n!}{r! (n-r)!}$

Hubungan dengan Permutasi Berunsur Identik

Kombinasi juga berhubungan dengan permutasi dengan unsur identik. Kombinasi dari sebuah himpunan S dapat dimengerti sebagai pemilihan unsur-unsur himpunan S. Unsur yang terpilih kita tandai dengan 1, dan yang tidak terpilih kita tandai dengan 0. Dengan demikian dari himpunan {apel, jeruk, mangga, pisang} tersebut, kita dapat mendaftarkan kombinasi-3 nya seperti ini:

Kombinasi	apel	jeruk	mangga	pisang
apel, jeruk, mangga	1	1	1	0
apel, jeruk, pisang	1	1	0	1
apel, mangga, pisang	1	0	1	1
jeruk, mangga, pisang	0	1	1	1

Dengan demikian, banyaknya kombinasi 3 unsur dari himpunan S yang berisi 4 benda setara dengan banyaknya permutasi terhadap untai 1110, yaitu:

$\frac{4!}{3!} = 4$

Karena untai 1110 memiliki 4 unsur, tetapi ada 3 unsur identik, yaitu 1. Maka total permutasinya adalah 4! dibagi dengan 3!. Kombinasi r dari n unsur, sesuai dengan pengertian itu, selalu setara dengan permutasi yang terdiri dari r angka 1 dan n - r angka 0. Maka permutasinya menjadi:

$\frac{n!}{r! (n-r)!}$

Yang sesuai dengan rumus kita di awal, untuk menghitung $C^n_r$ .

Koefisien Binomial

Suatu binomial

(a + b) n

yang dijabarkan dalam bentuk jumlahan, akan membangkitkan koefisien-koefisien yang merupakan bilangan kombinasi.

$(a + b)^n = \sum_{k = 0}^{n} {n \choose k} a^{n-k} b^k$

Dengan penjabaran seperti di atas, maka banyaknya kombinasi r dari n unsur bisa didapat dari setiap suku:

${n \choose r} = \mbox{koefisien } a^{r} b^{n-r}$

Daftar berikut menunjukkan beberapa penjabaran binomial:

$(a + b) 0 = 1 a 0 b 0$
$(a + b) 1 = 1 a 1 b 0 + 1 a 0 b 1$
$(a + b) 2 = 1 a 2 b 0 + 2 a 1 b 1 + 1 a 0 b 2$
$(a + b) 3 = 1 a 3 b 0 + 3 a 2 b 1 + 3 a 1 b 2 + 1 a 0 b 3$
$(a + b) 4 = 1 a 4 b 0 + 4 a 3 b 1 + 6 a 2 b 2 + 4 a 1 b 3 + 1 a 0 b 4$
$(a + b) 5 = 1 a 5 b 0 + 5 a 4 b 1 + 10 a 3 b 2 + 10 a 2 b 3 + 5 a 1 b 4 + 1 a 0 b 5$
$(a + b) 6 = 1 a 6 b 0 + 6 a 5 b 1 + 15 a 4 b 2 + 20 a 3 b 3 + 15 a 2 b 4 + 6 a 1 b 5 + 1 a 0 b 6$

Segitiga Pascal

Dengan menuliskan hanya koefisiennya saja, dari penjabaran binomial dapat kita peroleh:

$(a + b)^0 = 1a^0b^0 \rightarrow 1$
$(a + b)^1 = 1a^1b^0 + 1a^0b^1 \rightarrow 1, 1$
$(a + b)^2 = 1a^2b^0 + 2a^1b^1 + 1a^0b^2 \rightarrow 1, 2, 1$
$(a + b)^3 = 1a^3b^0 + 3a^2b^1 + 3a^1b^2 + 1a^0b^3 \rightarrow 1, 3, 3, 1$

Jika diteruskan, daftar koefisien ini akan membentuk susunan yang disebut sebagai Segitiga Pascal.

         1
        1  1
       1  2  1
      1  3  3  1
     1  4  6  4  1
    1  5 10 10  5  1
   1  6 15 20 15  6  1
  1  7 21 35 35 21  7  1
 1  8 28 56 70 56 28  8  1

Program aplikasi menggunakan Delphi

Program Aplikasi Faktorial Menggunakan Delphi

Program Aplikasi Permutasi dan Kombinasi

Catatan Kuliah

FAKTORIAL, PERMUTASI, DAN KOMBINASI

Definisi

Pengertian

Menghitung Banyaknya Permutasi yang Mungkin

Bilangan Inversi

Faktoradik

Membangkitkan Permutasi

Jenis-jenis Permutasi Lainnya

Permutasi-k dari n benda

Permutasi dengan elemen yang identik

Permutasi siklis

Definisi

Sifat rekursif dari Kombinasi

Hubungan dengan Permutasi

Hubungan dengan Permutasi Berunsur Identik

Koefisien Binomial

Segitiga Pascal

Program aplikasi menggunakan Delphi

Program Aplikasi Faktorial Menggunakan Delphi

Program Aplikasi Permutasi dan Kombinasi

No comments:

Post a Comment

Fans Page

Formulir Kontak

Daftar Popular

Blog Archive

Sahabatku

Statistik

My Blog Views