Metode Secant, Iterasi Sederhana, Metode Biseksi, Newton Raphson, Regula Falsi

Nama  : SYAHARUDDIN

NIM    : 151 074 002

Kelas   : V. A

TUGAS 2 METODE NUMERIK

SOAL :

1. Tentukan Solusi dari f(x) = X℮^-X + Cos 2X dengan menggunakan Metode Biseksi, Regula Falsi, Iterasi Sederhana, Newton Raphson, dan Secant.
2. Tentukan nilai X sehingga volume balok maksimum

151 cm

X		X
X X	119 cm	X X
X		X

JAWABAN :

1.      Solusi dari f(x) = X℮^-X + Cos 2X dengan interval X = [(-1,5),0] dan toleransi error = 0,001

1. Metode Biseksi (Bagi Dua)

Alat : CASIO fx – 570ES dan Aplikasi Program Delphi 7.0

Ite	a	b	x	f(a)	f(x)	Keterangan
1	-1,5	0	-0,75	-5,72390	-0,5881	Sama tanda
2	-0,75	0	-0,375	-0,5881	0,4543	Berla. tanda
3	-0,75	-0,375	-0,5625	-0,5881	0,0126	Berla. tanda
4	-0,75	-0,5625	-0,65625	-0,5881	-0,2652	Sama tanda
5	-0,65625	-0,5625	-0,609375	-0,2652	-0,1210	Sama tanda
6	-0,609375	-0,5625	-0,5859375	-0,1210	-0,0529	Sama tanda
7	-0,5859375	-0,5625	-0,57421875	-0,0529	-0,0199	Sama tanda
8	-0,57421875	-0,5625	-0,568359375	-0,0199	-0,0036	Sama tanda
9	-0,568359375	-0,5625	-0,5654296875	-0,0036	0,0045	Berla. tanda
10	-0,568359375	-0,5654296875	-0,56689453125	-0,0036	0,0004	Berla. tanda
11	-0,568359375	-0,56689453125	-0,567626953125	-0,0036	-0,001	Sama tanda
12	-0,567626953125	-0,56689453125	-0,5672607421875	-0,001	-0,0005	Sama tanda

Jadi, dengan toleransi error 0,001 maka diperoleh nilai x adalah -0,5672607421875 = -0,567 dengan nilai f(x) = 0,0005.

2. Metode Regula Palsi ( Titik Palsu)

Alat : CASIO fx – 570ES dan Aplikasi Program Delphi 7.0

Ite	a	b	x	f(a)	f(b)	f(x)	Keterangan
1	-1,5	0	-0,22308	-5,72390	1	0,72114	Berlawanan tanda
2	-1,5	-0,22308	-0,36596	-5,72390	0,72114	0,47224	Berlawanan tanda
3	-1,5	-0,36596	-0,45239	-5,72390	0,47224	0,28869	Berlawanan tanda
4	-1,5	-0,45239	-0,50269	-5,72390	0,28869	0,16882	Berlawanan tanda
5	-1,5	-0,50269	-0,53126	-5,72390	0,16882	0,09612	Berlawanan tanda
6	-1,5	-0,53126	-0,54726	-5,72390	0,09612	0,05387	Berlawanan tanda
7	-1,5	-0,54726	-0,55614	-5,72390	0,05387	0,02994	Berlawanan tanda
8	-1,5	-0,55614	-0,56105	-5,72390	0,02994	0,01656	Berlawanan tanda
9	-1,5	-0,56105	-0,56376	-5,72390	0,01656	0,00919	Berlawanan tanda
10	-1,5	-0,56376	-0,56526	-5,72390	0,00919	0,005	Berlawanan tanda
11	-1,5	-0,56526	-0,56608	-5,72390	0,005	0,00274	Berlawanan tanda
12	-1,5	-0,56608	-0,56653	-5,72390	0,00274	0,00149	Berlawanan tanda
13	-1,5	-0,56653	-0,56677	-5,72390	0,00149	0,00084	Berlawanan tanda

Jadi, dengan toleransi error 0,001 maka diperoleh nilai x adalah -0,56677 = -0,567 dengan nilai f(x) = 0,00084

3. Metode Iterasi Sederhana

Alat : CASIO fx – 570ES

Dari fungsi f(x) = X℮^-X + Cos 2X atau X℮^-X + Cos 2X maka diperoleh X = - Cos 2X/℮^-X  atau X = - ℮^X Cos 2X dengan x₀ = -1,5.

Ite	Xi	f(xi)
1	-0,22282	0,72153
2	-0,80023	-0,78174
3	-0,44905	0,29629
4	-0,63816	-0,20828
5	-0,52813	0,10425
6	-0,58961	-0,06345
7	-0,55442	0,03461
8	-0,57429	-0,02006
9	-0,56299	0,01124
10	-0,56939	0,00641
11	-0,56576	0,00362
12	-0,56782	0,00206
13	-0,56664	0,00119
14	-0,56732	0,00068

Jadi, dengan toleransi error 0,001 maka diperoleh nilai x adalah -0,56732 = -0,567 dengan nilai f(x) = 0,00068

4. Metode Newton Raphson

Alat : CASIO fx – 570ES dan Aplikasi Program Delphi 7.0

f(x) = X℮^-X + Cos 2X, maka f’(x) = ℮^-X - X℮^-X – 2 Sin 2X atau f’(x) = ℮^-X (1 – X) - 2 Sin 2X

Ite	X	F(x)	F’(x)
1	-1,5	-5,72390	11,30889
2	-0,99386	-1,68566	6,96272
3	-0,75176	-0,59462	3,76749
4	-0,59393	-0,07588	2,92822
5	-0,56802	-0,00262	2,80685
6	-0,56709	-0,00005	2,80257

           

Jadi, dengan toleransi error 0,001 maka diperoleh nilai x adalah -0,56709 = -0,567 dengan nilai f(x) = 0,00005

5. Metode Secant.

CASIO fx – 570ES dan Aplikasi Program Delphi 7.0

f(x) = X℮^-X + Cos 2X, dengan x₀ = -1,5 dan x₁ = 0  maka y₀ = -5,72390 dan y₁ = 1

Ite	Xn	F(xn)
1	-0,22308	0,72114
2	-0,79997	-0,78070
3	-0,50009	0,17526
4	-0,55507	0,03285
5	-0,56775	0,00187
6	-0,56852	-0,004
7	-0,56799	-0,00254
8	-0,56707	0,000006

           

Jadi, dengan toleransi error 0,001 maka diperoleh nilai x adalah -0,56707 = -0,567dengan nilai f(x) = 0,000006

2.      Nilai X sehingga volume balok maksimum.

Dik            : p = 151 – 2x

                  : l = 119 – 2x

                  : t = x

Dit : nilai x = …… ?

Maka :

V   = p.l.t

      = (151 – 2x) (119 – 2x) (x)

      = 17969X – 540X² + 4X³

Agar volume balok maksimum maka V’ = 0

V’ = 12X² – 1080X + 17969

Misalkan V’ = f(x) maka V” = f’(x).

Jadi fungsi f(x) = 12X² – 1080X + 17969 dan f’(x) = 24X-1080 dengan  Interval [0,23] dan Toleransi error = 0,001

1. Metode Newton Rapshon  ( Alat : CASIO fx – 570ES dan Aplikasi Program Delphi 7.0 )

f(x) = 12X² – 1080X + 17969, maka f’(x) = 24X-1080

Ite	X	F(x)	F’(x)
1	23	-523	-528
2	22,00947	11,77364	-555.7727
3	22,03066	0,08696	-551,2642
4	22,03082	-0,00124	-551,2603
5	22,030818	-0,00014	-551,2604

Jadi, dengan toleransi error 0,001 maka diperoleh nilai x adalah 22,030818 dengan nilai f(x) = -0,00014

2. Metode Secant ( Alat : CASIO fx – 570ES dan Aplikasi Program Delphi 7.0 )

f(x) = 12X² – 1080X + 17969, dengan x₀ = 23 dan x₁ = 0  maka y₀ = -253 dan y₁ = 17969 (untuk mempermudah perhitungan maka nilai x₀ dan x₁ dibalik).

Ite	Xn	F(xn)
1	22,68066	-353,16474
2	22,24348	-116,68957
3	22,02775	1,69124
4	22,03083	-0,00675
5	22,030818	-0,00014

Jadi, dengan toleransi error 0,001 maka diperoleh nilai x adalah 22,030818 dengan nilai f(x) = -0,00014

Maka diperoleh volume maksimum balok = 17969X – 540X² + 4X³ = 176550,2619 cm³